আমরা জানি, $x^2+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right)$ । এই সূত্রটির বামপাশের রাশির সাথে $x^2+px+q$এর তুলনা করলে দেখা যায় যে, উভয় রাশিতেই তিনটি পদ আছে, প্রথম পদটি $x^2$ ও এর সহগ 1 (এক), দ্বিতীয় বা মধ্য পদটিতে $x$ আছে যার সহগ যথাক্রমে $\left(a+b\right)$ ও $q$ আছে। তৃতীয় পদটি $x$ বর্জিত, যেখানে যথাক্রমে $ab$ ও $q$ আছে।

$x^2+(a+b)x+ab$ এর দুইটি উৎপাদক। অতএব, $x^2+px+q$ এরও দুইটি উৎপাদক হবে।

মনে করি, $x^2+px+q$ এর উৎপাদক দুইটি $(x+a),(x+b)$

সুতরাং, $x^2+px+q=(x+a) (x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

তাহলে, $p=a+b$ এবং $q=ab$

এখন, $x^2+px+q$ এর উৎপাদক নির্ণয় করতে হলে, $q$ কে এমন দুইটি উৎপাদকে প্রকাশ করতে হবে যার বীজগণিতীয় সমষ্টি $p$ হয়। এই প্রক্রিয়াকে মধ্যপদ বিভাজন (Middle term breakup) বলে। $x^2+7x+12$ রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হলে $12$ কে এমন দুইটি উৎপাদকে প্ৰকাশ করতে হবে যার সমষ্টি $7$ এবং গুণফল 12 হয়। $12$ এর সম্ভাব্য উৎপাদক জোড়াসমূহ $1,12, 2,6$ ও $3,4$ । এদের মধ্যে $3,4$ জোড়াটির সমষ্টি $(3+4)=7$ এবং গুণফল $3 \times 4=12$

$\therefore x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$

মন্তব্য : প্রতিক্ষেত্রে $p$ ও $q$ উভয়ই ধনাত্মক বিবেচনা করে, $x^2+px+q, x^2-px+q, x^2+px-q$ এবং $x^2-px–q$ আকারের রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হলে, প্রথম ও দ্বিতীয় রাশিতে $q$ ধনাত্মক হওয়াতে $q$ এর উৎপাদক দুইটি একই চিহ্নযুক্ত রাশি অর্থাৎ, উভয়ই ধনাত্মক অথবা উভয়ই ঋণাত্মক হবে। এক্ষেত্রে, $p$ ধনাত্মক হলে, $q$ এর উভয় উৎপাদকই ধনাত্মক হবে, আর $p$ ঋণাত্মক হলে, $q$ এর উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক হবে।

তৃতীয় ও চতুর্থ আকারের রাশিতে $q$ ঋণাত্মক অর্থাৎ, $\left(-q\right)$ হওয়াতে $q$ এর উৎপাদক দুইটি বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে এবং $p$ ধনাত্মক হলে, উৎপাদক দুইটির ধনাত্মক সংখ্যাটি ঋণাত্মক সংখ্যাটির পরম মান থেকে বড় হবে। আর $p$ ঋণাত্মক হলে, উৎপাদক দুইটির ঋণাত্মক সংখ্যার পরম মান ধনাত্মক সংখ্যা থেকে বড় হবে।

উদাহরণ ৩। $x^2+5x+6$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : এমন দুইটি ধনাত্মক সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যাদের সমষ্টি $5$ এবং গুণফল $6$। $6$ এর সম্ভাব্য উৎপাদক জোড়াগুলো হচ্ছে $1,6$ ও $2,3$

এদের মধ্যে $2,3$ জোড়াটির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $2+3=5$ এর গুণফল $2x3=6$

$\therefore x^2+5x+6= x^2+2x+3x+6$

                          $=x(x+2)+3(x+2)$

                          $=(x+2)(x+3)$

উদাহরণ ৪। $x^2-15x+54$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : এমন দুইটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যাদের সমষ্টি $-15$ এবং গুণফল $54$ । এখানে দুইটি - সংখ্যার সমষ্টি ঋণাত্মক, কিন্তু গুণফল ধনাত্মক। কাজেই, সংখ্যা দুইটি উভয়ই ঋণাত্মক হবে। $54$ এর সম্ভাব্য উৎপাদক জোড়াগুলো হচ্ছ $–1,–54,–2,–27,-3,–18, –6,-9$ । এদের মধ্যে $-6,-9$ এর সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $=-6-9=-15$ এবং এদের গুণফল $=(-6)\times (–9)=54$

$x^2-15x+54=x^2-6x-9x+54$

                          $=x(x-6)-9(x–6)$

                          $=(x-6)(x-9)$

উদাহরণ ৫। $x^2+2x–15$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : এমন দুইটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যাদের সমষ্টি $2$ এবং গুণফল $(-15)$ । এখানে দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ধনাত্মক, কিন্তু গুণফল ঋণাত্মক। কাজেই, সংখ্যা দুইটির মধ্যে যে সংখ্যার পরম মান বড় সেই সংখ্যাটি ধনাত্মক, আর যে সংখ্যার পরম মান ছোট সে সংখ্যাটি ঋণাত্মক হবে। $(-15)$ এর সম্ভাব্য উৎপাদক জোড়াগুলো হচ্ছে $(–1,15)$ ও $(–3,5)$

এদের মধ্যে $-3,5$ এর সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $=-3+5=2$

$\therefore x^2+2x-15=x+5x–3x–15$

                            $=x(x+5)–3(x+5)$

                           $=(x+5)(x–3)$

উদাহরণ ৬। $x^2-3x-28$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : এমন দুইটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যাদের সমষ্টি $\left(-3\right)$ এবং গুণফল $(–28)$ । এখানে দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ঋণাত্মক এবং গুণফল ঋণাত্মক, কাজেই সংখ্যা দুইটির মধ্যে যে সংখ্যার পরম মান বড় সেই সংখ্যাটি ঋণাত্মক, আর যে সংখ্যাটির পরম মান ছোট সেই সংখ্যাটি ধনাত্মক হবে। $(–28)$ এর সম্ভাব্য উৎপাদক জোড়াগুলো হচ্ছে, $–1,28;2–14$ ও $4–7$ । এদের মধ্যে $4,7$ এর সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $=-7+4=-3$

$\therefore x^2-3x-28=x^2-7x+4x-28$

                            $=x(x–7)+4(x-7)$

                            $=(x-7)(x+4)$